巧借倍长中线结论解非中线问题

倍长中线是八年级几何构造全等三角形非常重要的方法。它的意思是:延长某一边上的中线,使所延长部分与中线相等,然后连接相应的顶点,利用中线的性质、对应边和对顶角相等,用“SAS”证明三角形全等,解决相关问题。

今天这道题,虽不是中线问题,但同样可以利用倍长中线的结论。

如图一,在△ABC中,D是AB边上一点,在AC的延长线上取CE=BD,连接DE交BC于F,若DF=EF,求证:△ABC为等腰三角形。

我们先来分析一下题意,要求证△ABC为等腰三角形,可证明AB=AC,也可证明∠B=∠ACB。

从图和已知条件来看,我们发现哪一组关系都不能直接证明,这就需要画辅助线。

如图二,在BF上找一点G,使FG=CE,连接DG。

在△DGF和△ECF中,FG=CE,DF=EF,而∠DFG和∠CFE是一组对顶角,很容易证明△DGF≌△ECF。

所以∠DGF=∠ECF,CE=DG。

又因为∠DGF与∠DGB是邻补角,∠ECF和∠ACF是邻补角。

所以∠DGB=∠ACF。

因为CE=DG,CE=BD

所以DG=BD,△DBG为等腰三角形,∠DGB=∠B

所以∠B=∠ACF,△ABC为等腰三角形。

也可以如图三,延长BC至G,使FG=BF,连接EG,证明方法与上述相似,不再赘述。

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